به نام او

سلام

امروز یه کمی از ترکیبیات میگم .اگر نظر هم نداشتین نظر بدین.

اصل ضرب:

سلام ، اول یک مساله مینویسم تا موضوع روشن تر بشه :

مثال۱: 

فرض کنید، که شما میخواهید، ازکرمان به رشت سفرکنید و برای این کار میخواهیداز تهران هم  دیدن کنید،برای این سفرشمامیتوانید از دو دسته وسایل زیر استفاده کنید:

الف)کرمان به تهران:هواپیما ، قطار، اتوبوس و با خط یازده(پیاده)

ب)ازتهران به رشت: هواپیما ،اتوبوس ،دوچرخه 

خب حالاشما برای این مسافرت ابتدا باید ازکرمان به رشت بروید. برای این سفرشما از۴  وسیله نقلیه میتوانید. استفاده کنید،حالانوبت قسمت دوم مسافرت است ، یعنی از تهران به رشت شما برای مسافرت از تهران به رشت ۳ راه دارید.درنتیجه شما به ازای هر یک ازسفر از کرمان به تهران، ۳راه میتوانید انتخاب کنید:

12=3+3+3+3   یا   12=3*4

تعریف اصل ضرب: اگرپیشامدی به (م) طریق رخ دهدوپیشامد دومی مستقل ازپیشامد اولی به (ح) طریق مختلف صورت میگیرد .این دو پیشامدبا هم به (م)*(ح) طریق مختلف صورت میگیرند.

حالا نوبت شماست. چند مسئله خیلی ساده را حل کنید: 

مثال2:

سوال: با حروف کلمه (حامد) چند کلمه دو حرفی میتوان ساخت؟(بدون تکرار حروف) 

راهنمایی:فرض کنید دو مربع داریم.که میخواهیم یکی از حروف را در مربع اولی و یکی دیگر ازحروف را در مربع دومی قرار دهیم:

جواب:                   12=3*4

نکته:اصل ضرب را میتوان به بیش از دو پیشامد تعمیم داد.

مثال3:

سوال: با ارقام ۱،۲،۳،۴،۵ چند عدد چهاررقمی میتوان نوشت؟ (تکرار غیر مجاز میباشد) جواب:۲*۳*۴*۵

نکته2:

به کلمه مستقل در تعریف اصل ضرب توجه کنید ،میتوانیدبرای پی بردن به این نکته مثال زیر را حل کنید.

مثال4 :

فرض کنیددر مثال1 اگر شما از کرمان به رشت  با هواپیما سفر کنید. دیگه پول مسافرت با هواپیما را ندارید؟ (جواب بدین)

مثال5 :

فرض کنید از کرمان میخواهید به رشت بروید (مثال 1)این دفعه شما راه سومی هم برای انتخاب وسیلهء نقلیه دارید وآن هم این است :

ج)کرمان به رشت : هواپیما ، قطار

ایندفعه دیگه نمیتوانید از اصل شمارش استفاده کنید.(جوابش یادتون نره)

اگر سوالی دارید حتماْ بپرسید.بگو چشم.

{علم گنج و کلید آن سوال است.پس سوال کنید.حضرت رسول(ص)}

نمونه سوالات اصل ضرب:

این ۱۵تا سوال اصل ضرب رو حل کنید  شما هم سوالاتتون رو حتماْ بهم بدین.

۱)به چند طریق میتوان سه حرف a,b,cرا کنار هم چید.(تکرار حروف غیر مجاز) 

۲)فرض کنید من میخواهم تعدادی پلاک درست کنم.به طوری که روی هر پلاک سه عدد یک رقمی مینویسم حال اگه گفتی چند پلاک میتوانم بسازم؟(پلاکها تکراری نیستند.)

۳)با ارقام ۱،۲،۳،۴،۵ چند عدد چهاررقمی میتوان نوشت؟(تکرار غیر مجاز میباشد)

۴) چند کلمهء دو حرفی با حروف کلمه (عشق) میتوان نوشت؟

 (تکرار حروف غیر مجاز میباشد)

5)چند عدد پنج رقمی با عددای 0و1و2و5و7 میتونید بسازید.

(تکرار ارقام مشکل داره ها)   جواب:96

6)با ارقام۵،۰،۲،۱ چند عدد دو رقمی می توان نوشت ؟ ( تکرار غیر مجاز میباشد)

۷)با ارقام ۱،۲،۳،۴،۵ چند عدد سه رقمی فرد میتوان نوشت؟

۸)شما ۵کتاب مختلف دارید.به چند طریق میتوانید آنهارا کنار هم بچینید؟(کتاب ریاضی دوم دبیرستان)

۹)با ارقام ۰،۲،۷،۱ چندکد چهاررقمی تلفن شهرستان میتوان ساخت؟

(کتاب ریاضی دوم دبیرستان)

۱۰)یک جدول ۳*۵ داریم. که می خواهیم اعداد ۱ و۲ را درخانه های این جدول قرار دهیم.به چند صورت میتوانیم این کار را انجام دهیم؟

۱۱)چند عدد دو رقمی فرد با ارقام متمایز وجود دارد؟(کتاب ریاضی دوم دبیرستان)

۱۲)اگر nیک عدد طبیعی بزرگتر ازیک باشد به چند طریق میتوان با دو

دو رقم ۰و۱ کدهای nرقمی نوشت؟این سوال تشریحی است.

۱3)اصل ضرب را اثبات کنید؟این سوال تشریحی است.

۱۴)خانه ای دارای پنج در است.شما به چند طریق میتوانید از یک در وارد و از در دیگه ای خارج شوید؟(البته اگه تو خونه گم نشدید)

۱۵)بین اعداد 10000 تا 100000 چند عدد صحیح وجود داره در صورتی که فقط ارقام 1و2و5 رو داشته باشه؟

به نام او

چند تا سؤال سختر از اصل ضرب:

1)سه جعبه به رنگ های آبی،سرخ و سفید داریم. اگر بخواهیم هر گوی را در جعبهء همرنگ غیر آن بگذاریم،این کار را به چند صورت میتوانیم انجام دهیم؟

«»«»«»«»«»

2)یک قفل رمزی دارای یک رمز 3 رقمی فرد با ارقام9و8و...و3و2و1 میباشد.اگر رمز این قفل را ندانیم و امتحان کردن هر رمز 2 دقیقه طول بکشد،حداکثر چند ساعت طول میکشد تا قفل باز شود؟(کنکور سراسری 65)

«»«»«»«»«»

3)با حروف کلمه «جمهوری» به چند طریق می توان کلمات 3 حرفی بدون تکرار حروف ساخت.به شرطی که حرف اول آن حرف نقطه دار نباشد؟( کنکور سراسری 67)

«»«»«»«»«»

4)تعداد اعداد دو رقمی که مضرب 2 یا 5 باشند برابر است با:( کنکور سراسری 67)

«»«»«»«»«»

جواب ها:

جواب1 :2

جواب2 : 13.5

جواب3 :80

جواب:54

«»«»«»«»«»

حالا چند تا سوال توپ:

1)تعداد مقسوم علیه های طبیعی عدد 360 را بیابید.

2)برای سؤال قبل یه فرمول بسازید.

«»«»«»«»«»

3)تعداد زوج مرتبهای (x,y) از اعداد صحیح را بیابید به طوریکه 8 > x²+y² .(دقت کنید که(1و2) با (2و1) فرق داره.)

«»«»«»«»«»

4)برای عدد طبیعی n چند زوج مرتب از اعداد طبیعی وجود دارد که در معادله زیر صدق می کند.(مسابقات ریاضی پانتام)

X+y=n÷xy

«»«»«»«»«»

5)یک مکعب به ضلع 3 را درنظر بگیرید که در مرکز هر یک از مکعب های کوچک آن یک نقطه گذاشته شده است(مجموعاً 27 نقطه)چندتا مجموعه سه تایی از این نقاط روی یک خط راست قرار دارند؟(مرحله اول پنجمین المپیاد کامپیوتر)

الف)48     ب)36      ج) 49      د)43       ه)37

«»«»«»«»«»

6)به چند طریق میتوان سه عدد متفاوت از اعداد صحیح 1 تا 9 انتخاب کرد.که مجموع آنها بر سه بخشپذیر باشد؟(مرحله اول نهمین المپیاد کامپیوتر)

الف)27     ب)28      ج)30        د)45       ه)84

«»«»«»«»«»

7)به چند طریق میتوان از میان اعداد 1 تا 30 ،سه عدد متمایز انتخاب کرد،به طوری که تشکیل تصاعد هندسی دهند؟( مرحله اول یازدهم المپیاد کامپیوتر)

الف)6      ب)10     ج)11          د)12      ه)13

اگر تصاعد نمی دونید چیه اون رو میتونین توی کتاب ریاضی دوم دبیرستان (فصل 5)بخونید.یادتون نره،حتماً بخونیدو مشکلاتتون رو هم بگین.

«»«»«»«»«»

جواب ها:

جواب1 :24

جواب3 :21

جواب5 :49

جواب6 :30

جواب7 :12

«»«»«»«»«»

ریاضیات چیست؟

آیا میتوان این علم را در چند جمله معرفی کرد ؟ بدون شک معرفی علوم پایه بخصوص علم ریاضی که ما در همه علوم است، کار بسیار دشواری است. زیرا این علم از یک سو ذهنی و تجریدی و از سوی دیگر عملی میباشد و در نتیجه یک تعریف باید کلی باشد تا بتواند تمام ابعاد دانش ریاضی را در بر بگیرد .برای مثال « آندروگلیسون» ریاضی دان آمریکایی در معرفی این علم می گوید:

«ریاضیات علم نظم است و موضوع آن یافتن ، توصیف و درک نظمی است که در وضعیتهای ظاهراََ پیچیده نهفته است و ابزارهای اصولی این علم ، مفاههیمی هستند که ما را قادر میسازند تا این نظم را توصیف کنیم.»

دکتر دیبایی استاد ریاضی دانشگاه تربیت معلم تهران نیز در معرفی این علم میگوید:

« علم ریاضی، قانونمند کردن تجربیات طبییعی است که در گیاهان و بقیه مخلوقات مشاهده میکنیم.علم ریاضیات این تجربیات را دسته بندی وقانونمند کرده وهمچنین توسعه میدهد.»

ریاضیات علم نظم است و موضوع آن یافتن، توصیف و درک نظمی است که در وضعیت‌های ظاهرا پیچیده‌ نهفته است و ابزارهای اصولی این علم ، مفاهیمی هستند که ما را قادر می‌سازند تا این نظم را توصیف کنیم» .
دکتر دیبایی استاد ریاضی دانشگاه تربیت معلم تهران نیز در معرفی این علم می‌گوید:
«علم ریاضی، قانونمند کردن تجربیات طبیعی است که در گیاهان و بقیه مخلوقات مشاهده می‌کنیم . علوم ریاضیات این تجربیات را دسته‌بندی و قانونمند کرده و همچنین توسعه می‌دهند.»
دکتر ریاضی استاد ریاضی نیز در معرفی این علم می‌گوید: «ریاضیات علم مدل‌دهی به سایر علوم است. یعنی زبان مشترک نظریات علمی سایر علوم ، علم ریاضی می‌باشد و امروزه اگر علمی را نتوان به زبان ریاضی بیان کرد، علم نمی‌باشد.»

ریاضیات بر خلاف تصور بعضی از افراد یکسری فرمول و قواعد نیست که همیشه و در همه‌جا بتوان از آن استفاده کرد بلکه ریاضیات درست فهمیدن صورت مساله و درست فکر کردن برای رسیدن به جواب است و برای به دست آوردن این توانایی ، دانشجو باید صبر و پشتکار لازم را داشته باشد تا بتواند حتی به مدت چندین ساعت در مورد یک مساله ریاضی فکر کرده و در نهایت با ابتکار و خلاقیت آن را حل کند.

معرفی گرایش های ریاضی:

ریاضیات هنری است باستانی واز همان آغاز از جمله ذهنی ترین و در عین حال علمی ترین تلاشهای آدمی بوده است. یعنی از همان 1800سال پیش از میلاد که بابلیها در زمینه خواص تجریدی اعداد به پژوهش پرداختند، ریاضیات در کنار جنبه های ادراکی نظری ،به صورت ابزار که هر روز برای مساحی زمین، دریانوردی وساختن بناهای بزرگ مورد نیاز بود،به کار میرفت.

امروزه نیز به همین منوال است وشاید به همین دلیل ما در رشته ریاضی با دو گزایش ریاضی محض وکاربردی روبهرو هستیم.اما آیا میتوان این دو گرایش را به طور کامل از یکدیگر مجزا کرد؟آیا میتوان گفت که ریاضی محض تنها یک فعالیت ذهنی است وهیچ کاربردی ندارد و در کنار آن ریاضی کاربردی، کاربرد ریاضیات را در علوم وفنون مختلف بررسی میکند وآیا طبق نظر «هارولدهاردی» ریاضیدان بزرگ انگلیسی، تنها باید به خاطر زیبایی ریاضیات ( ریاضیات محض ) به آن پرداخت واین علم هیچ ارزش علمی ندارد ؟

باید گفت که امروزه چنین دیدگاهی قابل قبول نیست بلکه به اعتقاد ریاضیدانها حتی ذهنی ترین حوزه های ریاضیات مثل هندسه، نظریه اعداد ومنطق نیز اهمیت علمی بسیاری دارد وبه همین دلیل نبباید ریاضیات را به دو گرایش محض وکاربردی تقسیم کرد.

ویژگی ها و توانمندی های لازم برای موفقیت در رشته ریاضی:

ریاضیدان، کاشف متهور ناشناخته ها است. عاشقی است که با شوری فراوان پا در وادی ناشناخته ها میگذارد وبا تلاشی تحسین بر انگیز وبه کمک ابزا رهایی که در اختیار دارد ، تاریکیهای راه را روشن کرده وراه را برای دیگران هموار میسازد.به همین دلیل یک ریاضیدان قبل از هر چیز باید جرات قدم گذاری در وادی ناشناخته ها را داشته باشد. همچنبن باید با صبرو حوصله زیاد وابتکار وخلاقیت مسائل وقضایای دانش ریاضی راحل کند.

چرا ریاضیات می خوانیم؟
چرا باید ریاضیات بخوانیم؟راجر بیکن، فیلسوف انگلیسی در سال 1267 میلادی پاسخ این سوال را این چنین داده است: «کسی که این کار را نکند نمی تواند چیزی از بقیه علوم و هر آن چه در این جهان هست بفهمد . . . چیزی که بدتر است این است که کسانی که ریاضیات نمی دانند به جهالت خودشان پی نمی برند و در نتیجه در پی چاره جویی برنمی آیند.» می توانم همین جا سخن را پایان دهم اما ممکن است بعضی ها فکر کنند که شاید خیلی چیزها در هفت قرن گذشته تغییر کرده باشد.
شاهدی تازه می آورم، پال دیراک از خالقان مکانیک کوانتومی، معتقد است که وقتی تئوری فیزیکی ای را پایه ریزی می کنید نباید به هیچ شهود فیزیکی اعتماد کنید. پس به چه چیزی اعتماد کنید؟ به گفته این فیزیکدان مشهور، فقط به برنامه ای متکی بر ریاضیات ولو این که در نگاه اول ربطی به فیزیک نداشته باشد.در حقیقت، در فیزیک تمامی ایده های صرفا فیزیکی رایج در ابتدای این قرن کنار گذاشته اند در حالی که الگوهای ریاضی ای که به زرادخانه های فیزیکدان ها راه یافته اند به تدریج معنای فیزیکی یافته اند. در این جاست که قابل اعتماد بودن ریاضیات به روشنی رخ می نمایاند. بنابراین الگو سازی ریاضی روشی پربار برای شناخت در علوم طبیعی است .
موریس کلاین می نویسد: یونانی های قدیم واقعیت های دنیای اطراف خود را با علم ریاضیات منطبق می دیدند و حقیقت نمایی طرح کیهان را در ریاضیات می یافتند. آن ها بین قانون های طبیعت و قانون های ریاضی شباهت هایی را احساس می کردند که اکنون یکی از پایه های اساسی علوم را تشکیل می دهد. بعدها یونانی ها در شناخت طبیعت پیشتر رفتند و اعتقاد استواری پیدا کردند که جهان بر اساس قانون های ریاضی طراحی شده و دستگاه کنترل شده ای است، از قانون هایی پیروی می کند و برای بشر قابل درک است.
دست آخر این که ریاضیات موسیقی ذهن است پس باید آن را نواخت.

تاریخچه عدد صفر                                                      

یکی از معمول ترین سئوالهائی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سئوال بدنبال این نیستیم که بگوئیم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.

اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسیار مهم تلقی می شود یکی از کاربردهای عدد صفر این است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراین در عددی مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنیم.

هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، ... بکار می برند و در اینگونه مسائل هیچگاه به مسئله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد.

بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار  نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمایش دهنده 2106 بود. البته باید در نظر داشت که از علائم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علائم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد "216 را با این نحوه علامت گذاری نداریم.  به این ترتیب به این مطلب  پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است.

البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.

البتهبعضی ازریاضی دانان یونانی  ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت 0 را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد.

هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.

اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سئوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودی موفق بوده اند .  

این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.

بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد

فایل راهنمای تدریس فصل 6 کتاب ریاضی 1 رو در نشانی زیر ببینید:

پیوند اصلی: http://math-dept.talif.sch.ir/opinion/chapter6-teacher.pdf (حجم فایل حدود 2 مگابایت)

پیوند کمکی: http://riazi.gh.googlepages.com/chapter6-teacher.pdf (حجم فایل حدود2 مگابایت)

پیوند کمکی: http://riaziaat.persiangig.com/Riazi1/chapter6-teacher.zip  (فایل فشرده با حجم 415 کیلوبایت)